Что можно приготовить из кальмаров: быстро и вкусно

Чтобы рациональное число m/n записать в виде десятичной дроби, нужно числитель разделить на знаменатель. При этом частное записывается конечной или бесконечной десятичной дробью.

Записать данное число в виде десятичной дроби.

Решение. Разделим в столбик числитель каждой дроби на ее знаменатель: а) делим 6 на 25; б) делим 2 на 3; в) делим 1 на 2, а затем получившуюся дробь припишем к единице — целой части данного смешанного числа.

Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых не содержат других простых делителей, кроме 2 и 5 , записываются конечной десятичной дробью.

В примере 1 в случае а) знаменатель 25=5·5; в случае в) знаменатель равен 2, поэтому, мы получили конечные десятичные дроби 0,24 и 1,5 . В случае б) знаменатель равен 3, поэтому результат нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

А можно ли без деления в столбик обратить в десятичную дробь такую обыкновенную дробь, знаменатель которой не содержит других делителей, кроме 2 и 5? Разберемся! Какую дробь называют десятичной и записывают без дробной черты? Ответ: дробь со знаменателем 10; 100; 1000 и т.д. А каждое из этих чисел — это произведение равного количества «двоек» и «пятерок». На самом деле: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 и т.д.

Следовательно, знаменатель несократимой обыкновенной дроби нужно будет представить в виде произведения «двоек» и «пятерок», а затем домножить на 2 и (или) на 5 так, чтобы «двоек» и «пятерок» стало поровну. Тогда знаменатель дроби будет равен 10 или 100 или 1000 и т.д. Чтобы значение дроби не изменилось — числитель дроби умножим на то же число, на которое умножили знаменатель.

Представить в виде десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:

Решение. Каждая из данных дробей является несократимой. Разложим знаменатель каждой дроби на простые множители.

20=2·2·5. Вывод: не хватает одной «пятерки».

8=2·2·2. Вывод: не хватает трех «пятерок».

25=5·5. Вывод: не хватает двух «двоек».

Замечание. На практике чаще не используют разложение знаменателя на множители, а просто задаются вопросом: на сколько нужно умножить знаменатель, чтобы в результате получилась единица с нулями (10 или 100 или 1000 и т.д.). А затем на это же число умножают и числитель.

Так, в случае а) (пример 2 ) из числа 20 можно получить 100 умножением на 5, поэтому, на 5 нужно умножить числитель и знаменатель.

В случае б) (пример 2 ) из числа 8 число 100 не получится, но получится число 1000 умножением на 125. На 125 умножается и числитель (3) и знаменатель (8) дроби.

В случае в) (пример 2 ) из 25 получится 100, если умножить на 4. Значит, и числитель 8 нужно умножить на 4.

Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Для краткости период дроби записывают один раз, заключая его в круглые скобки.

В случае б) (пример 1 ) повторяющаяся цифра одна и равна 6. Поэтому, наш результат 0,66... запишется так: 0,(6) . Читают: нуль целых, шесть в периоде.

Если между запятой и первым периодом есть одна или несколько не повторяющихся цифр, то такая периодическая дробь называется смешанной периодической дробью.

Несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой вместе с другими множителями содержит множитель 2 или 5 , обращается в смешанную периодическую дробь.

Записать в виде десятичной дроби числа:

Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Записать в виде бесконечной периодической дроби числа.

Бесконечные десятичные дроби

Десятичные дроби после запятой могут содержать бесконечное количество цифр.

Бесконечные десятичные дроби -- это десятичные дроби, в записи которых находится бесконечное число цифр.

Бесконечную десятичную дробь практически невозможно записать полностью, поэтому при их записи ограничиваются только некоторым конечным количеством цифр после запятой, после чего ставят многоточие, которое указывает на бесконечно продолжающуюся последовательность цифр.

Пример 1

Например, $0,443340831\dots ; 3,1415935432\dots ; 135,126730405\dots ; 4,33333333333\dots ; 676,68349349\dots$.

Рассмотрим последние две бесконечные десятичные дроби. В дроби $4,33333333333\dots$ бесконечно повторяется цифра $3$, а в дроби $676,68349349\dots$ с третьего знака после запятой повторяется группа цифр $3$, $4$ и $9$. Подобные бесконечные десятичные дроби называются периодическими.

Периодические десятичные дроби

Периодические десятичные дроби (или периодические дроби ) -- это бесконечные десятичные дроби, в записи которых с некоторого знака после запятой бесконечно повторяется какая-нибудь цифра или их группа, которая называется периодом дроби}.

Пример 2

Например, период периодической дроби $4,33333333333\dots$ -- цифра $3$, а период дроби $676,68349349\dots$ -- группа цифр $349$.

Для краткости записи бесконечных периодических десятичных дробей принято период записывать один раз, заключив его в круглые скобки. Например, периодическую дробь $4,33333333333\dots$ записывают $4,(3)$, а периодическую дробь $676,68349349\dots$ записывают $676,68(349)$.

Бесконечные десятичные периодические дроби получают при переводе обыкновенных дробей, знаменатели которых содержат простые множители, кроме $2$ и $5$, в десятичные дроби.

Любая конечная десятичная дробь (и целое число) может быть записана в виде периодической дроби, для чего достаточно справа дописать бесконечное количество цифр $0$.

Пример 3

Например, конечная десятичная дробь $45,12$ может быть записана в виде периодической дроби как $45,12(0)$, а целое число $(74)$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби будет иметь вид $74(0)$.

В случае периодических дробей, которые имеют период 9, используют переход к другой записи периодической дроби с периодом $0$. Только для этого период 9заменяют периодом $0$, при этом значение следующего по старшинству разряда увеличивается на $1$.

Пример 4

Например, периодическую дробь $7,45(9)$ можно заменить периодической дробью $7,46(0)$ или равной ей десятичной дробью $7,46$.

Бесконечные десятичные периодические дроби представляются рациональными числами. Другими словами, любая периодическая дробь может быть переведена в обыкновенную дробь, а любая обыкновенная дробь может быть представлена в виде периодической дроби.

Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические десятичные дроби

В десятичную дробь можно перевести не только обыкновенные дроби со знаменателями $10, 100, \dots$.

В некоторых случаях исходную обыкновенную дробь можно легко привести к знаменателю $10$, $100$ или $1 \ 000$, после чего можно полученную дробь представить в виде десятичной дроби.

Пример 5

Чтобы дробь $\frac{3}{5}$ }привести к дроби со знаменателем $10$, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на $2$, после чего получим $\frac{6}{10}$, которую не составит труда перевести в десятичную дробь $0,6$.

Для остальных случаев используется другой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную}:

числитель нужно заменить десятичной дробью с любым числом нулей после десятичной запятой;

разделить числитель дроби на знаменатель (деление выполняется как деление натуральных чисел в столбик, а в частном ставят десятичную запятую после окончания деления целой части делимого).

Пример 6

Перевести обыкновенную дробь $\frac{621}{4}$ в десятичную дробь.

Решение.

Число $621$ в числителе представим в виде десятичной дроби. Для этого добавим десятичную запятую и для начала два нуля после нее. Далее при необходимости можно буде добавить нули еще. Итак, получили $621,00$.

Выполним деление числа $621,00$ на $4$ в столбик:

Рисунок 1.

Деление дошло до десятичной запятой в делимом, а остаток при этом получили не нулевой. В таком случае в частном ставится десятичная запятая и продолжается деление столбиком, не взирая на запятые:

Рисунок 2.

В остатке получили нуль, значит деление окончено.

Ответ : $155,25$.

Возможен случай, когда при делении числителя и знаменателя обыкновенной дроби в остатке $0$ так и не получается. В этом случае деление можно продолжать бесконечно. Начиная с определенного момента остатки от деления периодически повторяются, а значит повторяются и цифры в частном. Из этого можно сделать вывод, что данная обыкновенная дробь переведется в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Пример 7

Перевести обыкновенную дробь $\frac{19}{44}$ в десятичную дробь.

Решение.}

Для перевода обыкновенной дроби в десятичную выполним деление в столбик:

Рисунок 3.

При делении повторяются остатки $8$ и $36$, а в частном также повторяются цифры $1$ и $8$. Итак, исходную обыкновенную дробь $\frac{19}{44}$ перевели в периодическую дробь $\frac{19}{44}=0,43181818\dots =0,43(18)$.

Ответ: $0,43(18)$.

Общий вывод о переводе обыкновенных дробей в десятичные:

если знаменатель можно разложить на простые множители, среди которых будут присутствовать только числа $2$ и $5$, то такую дробь можно перевести в конечную десятичную дробь;

если кроме чисел $2$ и $5$ в разложении знаменателя присутствуют другие простые числа, то такая дробь переводится в бесконечную десятичную периодическую дробь.

Помните, как в самом первом уроке про десятичные дроби я говорил, что существуют числовые дроби, не представимые в виде десятичных (см. урок «Десятичные дроби »)? Мы еще учились раскладывать знаменатели дробей на множители, чтобы проверить, нет ли там чисел, отличных от 2 и 5.

Так вот: я наврал. И сегодня мы научимся переводить абсолютно любую числовую дробь в десятичную. Заодно познакомимся с целым классом дробей с бесконечной значащей частью.

Периодическая десятичная дробь - это любая десятичная дробь, у которой:

1. Значащая часть состоит из бесконечного количества цифр;
2. Через определенные интервалы цифры в значащей части повторяются.

Набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть, называется периодической частью дроби, а количество цифр в этом наборе - периодом дроби. Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью.

Поскольку определений много, стоит подробно рассмотреть несколько таких дробей:

Эта дробь встречается в задачах чаще всего. Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.

Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.

Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.

Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6. Для удобства повторяющиеся части отделены друг от друга пробелом - в настоящем решении так делать не обязательно.

Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.

Как видите, определение периодической дроби основано на понятии значащей части числа . Поэтому если вы забыли что это такое, рекомендую повторить - см. урок « ».

Переход к периодической десятичной дроби

Рассмотрим обыкновенную дробь вида a /b . Разложим ее знаменатель на простые множители. Возможны два варианта:

1. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным - см. урок «Десятичные дроби ». Такие нас не интересуют;
2. В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь непредставима в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.

Чтобы задать периодическую десятичную дробь, надо найти ее периодическую и непериодическую часть. Как? Переведите дробь в неправильную, а затем разделите числитель на знаменатель «уголком».

При этом будет происходить следующее:

1. Сначала разделится целая часть , если она есть;
2. Возможно, будет несколько чисел после десятичной точки;
3. Через некоторое время цифры начнут повторяться .

Вот и все! Повторяющиеся цифры после десятичной точки обозначаем периодической частью, а то, что стоит спереди - непериодической.

Задача. Переведите обыкновенные дроби в периодические десятичные:

Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель «уголком»:

Как видим, остатки повторяются. Запишем дробь в «правильном» виде: 1,733 ... = 1,7(3).

В итоге получается дробь: 0,5833 ... = 0,58(3).

Записываем в нормальном виде: 4,0909 ... = 4,(09).

Получаем дробь: 0,4141 ... = 0,(41).

Переход от периодической десятичной дроби к обыкновенной

Рассмотрим периодическую десятичную дробь X = abc (a 1 b 1 c 1). Требуется перевести ее в классическую «двухэтажную». Для этого выполним четыре простых шага:

1. Найдите период дроби, т.е. подсчитайте, сколько цифр находится в периодической части. Пусть это будет число k ;
2. Найдите значение выражения X · 10 k . Это равносильно сдвигу десятичной точки на полный период вправо - см. урок «Умножение и деление десятичных дробей »;
3. Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть «сжигается», и остается обычная дробь ;
4. В полученном уравнении найти X . Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.

Задача. Приведите к обыкновенной неправильной дроби числа:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Работаем с первой дробью: X = 9,(6) = 9,666 ...

В скобках содержится лишь одна цифра, поэтому период k = 1. Далее умножаем эту дробь на 10 k = 10 1 = 10. Имеем:

10X = 10 · 9,6666 ... = 96,666 ...

Вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Теперь разберемся со второй дробью. Итак, X = 32,(39) = 32,393939 ...

Период k = 2, поэтому умножаем все на 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Снова вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Приступаем к третьей дроби: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Схема та же самая, поэтому я просто приведу выкладки:

Период k = 1 ⇒ умножаем все на 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 · 0,30555 ... = 3,05555 ...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Наконец, последняя дробь: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Опять же, для удобства периодические части отделены друг от друга пробелами. Имеем:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000X = 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Что если они знают теорию рядов, то значит без неё никаких метаматических понятий вводить нельзя. Более того, эти люди полагают, что тот, кто не использует её повсеместно, - невежда. Оставим воззрения этих людей на их совести. Давайте лучше разберёмся с тем, что такое бесконечная периодическая дробь и как с ней быть нам, необразованным людям, не знающим пределов.

Поделим 237 на 5. Нет, не нужно запускать «Калькулятор». Давайте лучше вспомним среднюю (или даже начальную?) школу и просто поделим столбиком:

Ну как, вспомнили? Тогда можно и к делу переходить.

Понятие «дробь» в математике имеет два значения:

1. Нецелое число.
2. Форма записи нецелого числа.

1. Простые (или вертикальные ) дроби, вроде 1/2 или 237/5.
2. Десятичные дроби, например, 0,5 или 47,4.

В математике, вообще искони принят счёт десятичный, а потому и десятичные дроби удобнее простых, т. е. дробь с десятичным знаменателем (Владимир Даль. Толковый словарь живого великорусского языка. «Десять»).

Даже совсем необразованный заметит: сколько ни дели - не разделится: так и будут тройки до бесконечности появляться. Так и запишем: 0,33... Имеем в виду при этом «число, которое получается, когда делишь 1 на 3», или, короче, «одна третья». Естественно, что одна третья - дробь в первом смысле слова, а «1/3» и «0,33...» - дроби во втором смысле слова, то есть формы записи числа, которое находится на числовой прямой на таком расстоянии от нуля, что если трижды его отложить, получится единица.

Теперь попробуем разделить 5 на 6:

Снова запишем: 0,833... Имеем в виду «число, которое получается, когда делишь 5 на 6», или, короче, «пять шестых». Однако, тут возникает путаница: имеется ли в виду 0,83333 (и дальше тройки повторяются), или же 0,833833 (и дальше 833 повторяется). Поэтому запись с многоточием нас не устраивает: непонятно, откуда начинается повтряющаяся часть (она называется «период»). Поэтому период мы будем брать в скобки, вот так: 0,(3); 0,8(3).

0,(3) не просто равно одной третьей, это есть одна третья, ведь мы специально эту запись придумали, чтобы представлять это число в виде десятичной дроби.

Эта запись и называется бесконечной периодической дробью , или просто периодической дробью.

Всегда, когда мы делим одно число на другое, если не получается дробь конечная, то получается дробь бесконечная периодическая, то есть обязательно когда-нибудь последовательности цифр начнут повторяться. Почему это так можно понять чисто умозрительно, посмотрев внимательно на алгоритм деления столбиком:

В местах, обозначенных галочками, не могут всё время получаться разные пары чисел (потому, что таких пар в принципе конечное множество). А как только там появится такая пара, которая уже была, разность тоже будет такой же - и дальше весь процесс начнёт повторяться. Нет нужды проверять это, ведь совершенно очевидно, что при повторении тех же действий результаты будут те же.

Теперь, когда мы хорошо понимаем суть периодической дроби, давайте попробуем умножить одну треть на три. Да, получится, конечно, один, но давайте запишем эту дробь в десятичной форме и умножим столбиком (двусмыслицы из-за многоточия здесь не возникает, так как все цифры после запятой одинаковые):

И снова мы замечаем, что всё время будут после запятой появляться девятки, девятки и девятки. То есть, используя, обратно, скобочную запись, мы получим 0,(9). Поскольку мы знаем, что произведение одной трети и трёх есть единица, то 0,(9) - это такая вот причудливая форма записи единицы. Однако использовать такую форму записи нецелесообразно, ведь единица прекрасно записывается и без использования периода, вот так: 1.

Как видим, 0,(9) - это один из тех случаев, когда целое число записано в форме дроби, вроде 3/3 или 7,0. То есть, 0,(9) - это дробь лишь во втором смысле слова, но никак не в первом.

Вот так, безо всяких пределов и рядов мы разобрались с тем, что такое 0,(9) и как с ним бороться.

Но всё же вспомним о том, что на самом-то деле мы умные и изучали анализ. Действительно, трудно отрицать, что:

Но, пожалуй, никто не будет спорить и с тем, что:

Всё это, конечно, верно. Действительно, 0,(9) является и суммой приведённого ряда, и удвоенным синусом указанного угла, и натуральным логарифмом числа Эйлера.

Но ни то, ни другое, ни третье не является определением.

Утверждать, что 0,(9) - сумма бесконечного ряда 9/(10 n), при n от единицы, - это всё равно, что утверждать, что синус - это сумма бесконечного ряда Тейлора:

Это совершенно верно , и это является важнейшим фактом для вычислительной математики, но это не определение, и, что самое главное, это ничуть не приближает человека к пониманию сути синуса. Суть же синуса некоторого угла состоит в том, что это всего навсего отношение противолежащего углу катета к гипотенузе.

Дак вот, периодическая дробь - это всего навсего десятичная дробь, которая получается, когда при делении столбиком один и тот же набор цифр повторется. Анализа тут нет и в помине.

И вот тут-то возникает вопрос: откуда вообще мы взяли число 0,(9)? Что на что мы делим столбиком, чтобы его получить? Действительно, нет таких чисел, при делении которых друг на друга столбиком мы бы имели бесконечно появляющиеся девятки. Но нам же удалось получить это число, умножая столбиком 0,(3) на 3? Не совсем. Ведь умножать нужно справа налево, чтобы корректно учитывать переносы разрядов, а мы это делали слева направо, хитро воспользовавшись тем, что переносов нигде всё равно не возникает. Поэтому правомерность записи 0,(9) зависит от того, признаём ли мы правомерность такого умножения столбиком или нет.

Следовательно, можно вообще сказать, что запись 0,(9) некорректна - и в определённой степени быть правым. Однако, поскольку нотация a ,(b ) принята, то просто некрасиво отказываться от неё при b = 9; лучше определиться с тем, что такая запись означает. Так что, если мы вообще принимаем запись 0,(9), то эта запись, конечно, означает число один.

Осталось лишь добавить, что если бы мы использовали, скажем, троичную систему счисления, то при делении столбиком единицы (1 3) на тройку (10 3) получилось бы 0,1 3 (читается «ноль целых одна третья»), а при делении единицы на двойку получилось бы 0,(1) 3 .

Так что периодичность дроби-записи - это не объективная какая-то характеристика дроби-числа, а всего лишь побочный эффект использования той или иной системы счисления.

Эта статья про десятичные дроби . Здесь мы разберемся с десятичной записью дробных чисел, введем понятие десятичной дроби и приведем примеры десятичных дробей. Дальше поговорим о разрядах десятичных дробей, дадим названия разрядов. После этого остановимся на бесконечных десятичных дробях, скажем о периодических и непериодических дробях. Дальше перечислим основные действия с десятичными дробями. В заключение установим положение десятичных дробей на координатном луче.

Навигация по странице.

Десятичная запись дробного числа

Чтение десятичных дробей

Скажем пару слов о правилах чтения десятичных дробей.

Десятичные дроби, которым соответствуют правильные обыкновенные дроби, читаются также как и эти обыкновенные дроби, только еще предварительно добавляется «ноль целых». Например, десятичной дроби 0,12 отвечает обыкновенная дробь 12/100 (читается «двенадцать сотых»), поэтому, 0,12 читается как «нуль целых двенадцать сотых».

Десятичные дроби, которым соответствуют смешанные числа, читаются абсолютно также как эти смешанные числа. Например, десятичной дроби 56,002 соответствует смешанное число , поэтому, десятичная дробь 56,002 читается как «пятьдесят шесть целых две тысячных».

Разряды в десятичных дробях

В записи десятичных дробей, также как и в записи натуральных чисел, значение каждой цифры зависит от ее позиции. Действительно, цифра 3 в десятичной дроби 0,3 означает три десятых, в десятичной дроби 0,0003 – три десяти тысячных, а в десятичной дроби 30 000,152 – три десятка тысяч. Таким образом, мы можем говорить о разрядах в десятичных дробях , так же как и о разрядах в натуральных числах .

Названия разрядов в десятичной дроби до десятичной запятой полностью совпадают с названиями разрядов в натуральных числах. А названия разрядов в десятичной дроби после запятой видны из следующей таблицы.

Например, в десятичной дроби 37,051 цифра 3 находится в разряде десятков, 7 – в разряде единиц, 0 стоит в разряде десятых, 5 – в разряде сотых, 1 – в разряде тысячных.

Разряды в десятичной дроби также различаются по старшинству. Если в записи десятичной дроби двигаться от цифры к цифре слева на право, то мы будем перемещаться от старших к младшим разрядам . Например, разряд сотен старше разряда десятых, а разряд миллионных младше разряда сотых. В данной конечной десятичной дроби можно говорить о старшем и младшем разряде. К примеру, в десятичной дроби 604,9387 старшим (высшим) разрядом является разряд сотен, а младшим (низшим) - разряд десятитысячных.

Для десятичных дробей имеет место разложение по разрядам. Оно аналогично разложению по разрядам натуральных чисел . Например, разложение по разрядам десятичной дроби 45,6072 таково: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . А свойства сложения от разложения десятичной дроби по разрядам позволяют перейти к другим представлениям этой десятичной дроби, например, 45,6072=45+0,6072 , или 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , или 45,6072=45,0072+0,6 .

Конечные десятичные дроби

До этого момента мы говорили лишь о десятичных дробях, в записи которых после десятичной запятой находится конечное число цифр. Такие дроби называют конечными десятичными дробями.

Определение.

Конечные десятичные дроби – это десятичные дроби, в записях которых содержится конечное число знаков (цифр).

Приведем несколько примеров конечных десятичных дробей: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .

Однако не всякая обыкновенная дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. К примеру, дробь 5/13 не может быть заменена равной ей дробью с одним из знаменателей 10, 100, … , следовательно, не может быть переведена в конечную десятичную дробь. Подробнее об этом мы поговорим в разделе теории перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби .

Бесконечные десятичные дроби: периодические дроби и непериодические дроби

В записи десятичной дроби после запятой можно допустить возможность наличия бесконечного количества цифр. В этом случае мы придем к рассмотрению так называемых бесконечных десятичных дробей.

Определение.

Бесконечные десятичные дроби – это десятичные дроби, в записи которых находится бесконечное множество цифр.

Понятно, что бесконечные десятичные дроби мы не можем записать в полном виде, поэтому в их записи ограничиваются лишь некоторым конечным числом цифр после запятой и ставят многоточие, указывающее на бесконечно продолжающуюся последовательность цифр. Приведем несколько примеров бесконечных десятичных дробей: 0,143940932… , 3,1415935432… , 153,02003004005… , 2,111111111… , 69,74152152152… .

Если внимательно посмотреть на две последние бесконечные десятичные дроби, то в дроби 2,111111111… хорошо видна бесконечно повторяющаяся цифра 1 , а в дроби 69,74152152152… , начиная с третьего знака после запятой, отчетливо видна повторяющаяся группа цифр 1 , 5 и 2 . Такие бесконечные десятичные дроби называют периодическими.

Определение.

Периодические десятичные дроби (или просто периодические дроби ) – это бесконечные десятичные дроби, в записи которых, начиная с некоторого знака после запятой, бесконечно повторяется какая-нибудь цифра или группа цифр, которую называют периодом дроби .

Например, периодом периодической дроби 2,111111111… является цифра 1 , а периодом дроби 69,74152152152… является группа цифр вида 152 .

Для бесконечных периодических десятичных дробей принята особая форма записи. Для краткости условились период записывать один раз, заключая его в круглые скобки. Например, периодическая дробь 2,111111111… записывается как 2,(1) , а периодическая дробь 69,74152152152… записывается как 69,74(152) .

Стоит отметить, что для одной и той же периодической десятичной дроби можно указать различные периоды. Например, периодическую десятичную дробь 0,73333… можно рассматривать как дробь 0,7(3) с периодом 3 , а также как дробь 0,7(33) с периодом 33 , и так далее 0,7(333), 0,7(3333), … Также на периодическую дробь 0,73333… можно посмотреть и так: 0,733(3) , или так 0,73(333) и т.п. Здесь, чтобы избежать многозначности и разночтений, условимся рассматривать в качестве периода десятичной дроби самую короткую из всех возможных последовательностей повторяющихся цифр, и начинающуюся с самой близкой позиции к десятичной запятой. То есть, периодом десятичной дроби 0,73333… будем считать последовательность из одной цифры 3 , и периодичность начинается со второй позиции после запятой, то есть, 0,73333…=0,7(3) . Еще пример: периодическая дробь 4,7412121212… имеет период 12 , периодичность начинается с третьей цифры после запятой, то есть, 4,7412121212…=4,74(12) .

Бесконечные десятичные периодические дроби получаются при переводе в десятичные дроби обыкновенных дробей, знаменатели которых содержат простые множители, отличные от 2 и 5 .

Здесь же стоит сказать о периодических дробях с периодом 9 . Приведем примеры таких дробей: 6,43(9) , 27,(9) . Эти дроби являются другой записью периодических дробей с периодом 0 , и их принято заменять периодическими дробями с периодом 0 . Для этого период 9 заменяют периодом 0 , а значение следующего по старшинству разряда увеличивают на единицу. Например, дробь с периодом 9 вида 7,24(9) заменяется периодической дробью с периодом 0 вида 7,25(0) или равной ей конечной десятичной дробью 7,25 . Еще пример: 4,(9)=5,(0)=5 . Равенство дроби с периодом 9 и соответствующей ей дроби с периодом 0 легко устанавливается, после замены этих десятичных дробей равными им обыкновенными дробями.

Наконец, повнимательнее рассмотрим бесконечные десятичные дроби, в записи которых отсутствует бесконечно повторяющаяся последовательность цифр. Их называют непериодическими.

Определение.

Непериодические десятичные дроби (или просто непериодические дроби ) – это бесконечные десятичные дроби, не имеющие периода.

Иногда непериодические дроби имеют вид, схожий с видом периодических дробей, например, 8,02002000200002… - непериодическая дробь. В этих случаях следует быть особо внимательными, чтобы заметить разницу.

Отметим, что непериодические дроби не переводятся в обыкновенные дроби, бесконечные непериодические десятичные дроби представляют иррациональные числа .

Действия с десятичными дробями

Одним из действий с десятичными дробями является сравнение, также определены четыре основных арифметических действия с десятичными дробями : сложение, вычитание, умножение и деление. Рассмотрим отдельно каждое из действий с десятичными дробями.

Сравнение десятичных дробей по сути базируется на сравнении обыкновенных дробей , отвечающих сравниваемым десятичным дробям. Однако перевод десятичных дробей в обыкновенные является достаточно трудоемким действием, да и бесконечные непериодические дроби не могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, поэтому удобно использовать поразрядное сравнение десятичных дробей. Поразрядное сравнение десятичных дробей аналогично сравнению натуральных чисел . Для получения более детальной информации рекомендуем изучить материал статьи сравнение десятичных дробей, правила, примеры, решения .

Переходим к следующему действию - умножению десятичных дробей . Умножение конечных десятичных дробей проводится аналогично вычитание десятичных дробей, правила, примеры, решения умножению столбиком натуральных чисел. В случае периодических дробей умножение можно свести к умножению обыкновенных дробей . В свою очередь умножение бесконечных непериодических десятичных дробей после их округления сводится к умножению конечных десятичных дробей. Рекомендуем к дальнейшему изучению материал статьи умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения .

Десятичные дроби на координатном луче

Между точками и десятичными дробями существует взаимно однозначное соответствие.

Разберемся, как строятся точки на координатном луче, соответствующие данной десятичной дроби.

Конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби мы можем заменить равными им обыкновенными дробями, после чего построить соответствующие обыкновенные дроби на координатном луче . Например, десятичной дроби 1,4 отвечает обыкновенная дробь 14/10 , поэтому точка с координатой 1,4 удалена от начала отсчета в положительном направлении на 14 отрезков, равных десятой доле единичного отрезка.

Десятичные дроби можно отмечать на координатном луче, отталкиваясь от разложения данной десятичной дроби по разрядам. Например, пусть нам нужно построить точку с координатой 16,3007 , так как 16,3007=16+0,3+0,0007 , то в данную точку можно попасть, последовательно откладывая от начала координат 16 единичных отрезков, 3 отрезка, длина которых равна десятой доле единичного, и 7 отрезков, длина которого равна десятитысячной доле единичного отрезка.

Такой способ построения десятичных чисел на координатном луче позволяет сколь угодно близко приблизиться к точке, отвечающей бесконечной десятичной дроби.

Иногда возможно точно построить точку, соответствующую бесконечной десятичной дроби. Например, , тогда этой бесконечной десятичной дроби 1,41421… соответствует точка координатного луча, удаленная от начала координат на длину диагонали квадрата со стороной 1 единичный отрезок.

Обратный процесс получения десятичной дроби, соответствующей данной точке на координатном луче, представляет собой так называемое десятичное измерение отрезка . Разберемся, как оно проводится.

Пусть наша задача заключается в том, чтобы попасть из начала отсчета в данную точку координатной прямой (или бесконечно приблизиться к ней, если попасть в нее не получается). При десятичном измерении отрезка мы можем последовательно откладывать от начала отсчета любое количество единичных отрезков, далее отрезков, длина которых равна десятой доле единичного, затем отрезков, длина которых равна сотой доле единичного, и т.д. Записывая количество отложенных отрезков каждой длины, мы получим десятичную дробь, соответствующую данной точке на координатном луче.

К примеру, чтобы попасть в точку М на приведенном выше рисунке, нужно отложить 1 единичный отрезок и 4 отрезка, длина которых равна десятой доле единичного. Таким образом, точке М соответствует десятичная дробь 1,4 .

Понятно, что точкам координатного луча, в которые невозможно попасть в процессе десятичного измерения, соответствуют бесконечные десятичные дроби.

Список литературы.

• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.