Что можно приготовить из кальмаров: быстро и вкусно

Действия с дробями.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования - мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.

Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.

Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.

Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.

А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями ! Действия с обыкновенными дробями - это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.

Сложение и вычитание дробей.

Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:

Короче, в общем виде:

А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:

Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь ! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.

Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения .

Ещё пример:

Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:

Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:

Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!

Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:

И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.

Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений...

Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой... Должно получиться 29/16.

Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах... И ничего не забыл.

А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями . Здесь обнаружатся новые грабли, да...

Итак, нам надо сложить два дробных выражения:

Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения ! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:

И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби - на х. Получится вот что:

Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки...

В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:

Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!

И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе - само число, в знаменателе - единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами - то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.

Ну, по сложению - вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой - повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)

Вычислить:

Ответы (в беспорядке):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Умножение/деление дробей - в следующем уроке. Там же и задания на все действия с дробями.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Число, записанное в формате обычной дроби, содержит информацию о том, на сколько частей следует поделить целое (знаменатель) и сколько таких частей (числитель) составляет представляемое дробью значение. Целое число тоже дозволено трансформировать в дробный формат, дабы упростить математические операции с участием целых и дробных величин, скажем операцию вычитания.

Инструкция

1. Переведите целое число – «сокращаемое» – в формат неправильной дроби. Для этого в числитель поставьте само число, а в качестве знаменателя используйте единицу. После этого приведите полученное соотношение к тому же знаменателю, тот, что применяется в иной дроби – в «вычитаемом». Сделайте это умножением на знаменатель вычитаемого величин по обе стороны от дробной черты сокращаемого. Скажем, если из 15 надобно вычесть 4/5, то 15 нужно преобразовать так: 15 = 15/1 = (15*5)/(1*5) = 75/5.

2. Отнимите от числителя полученной в итоге первого шага неправильной обычной дроби числитель вычитаемой дроби. Полученное значение будет стоять над дробной чертой результирующего соотношения, а под черту разместите знаменатель вычитаемой дроби. Скажем, для примера, приведенного в предыдущем шаге, всю операцию дозволено записать так: 15 – 4/5 = 75/5 – 4/5 = (75-4)/5 = 71/5.

3. Если числитель высчитанного значения огромнее знаменателя (неправильная дробь), класснее представить ее в виде смешанной дроби. Для этого поделите большее число на меньшее – полученная величина без остатка и будет целой частью. В числитель дробной части поставьте остаток от деления, а знаменатель оставьте без изменений. Позже такого реформирования итог описанного выше примера должен принять такой вид: 15 – 4/5 = 71/5 = 14 1/5.

4. Приведенный выше алгорифм приводит к итогу в формате обычной дроби, но зачастую бывает нужно получить в результате десятичную дробь. Дозволено произвести описанные в первых 2-х шагах операции, а после этого поделить числитель полученной дроби на ее знаменатель – полученное значение и будет десятичной дробью. Скажем: 15 – 4/5 = 71/5 = 14,2.

5. Альтернативный метод – первым же шагом перевести вычитаемую дробь в десятичный формат, то есть поделить ее числитель на знаменатель. Позже этого останется отнять вычитаемое от сокращаемого любым комфортным методом (в столбик, на калькуляторе, в уме). Тогда описанный выше пример дозволено записать так: 15 – 4/5 = 15 – 0,8 = 14,2.

Дробь – это специальная форма записи разумного числа. Она может быть представлена, как в десятичном, так и в обычном виде. Реформированием дробей занимаются детишки с пятого класса, эта операция имеет громадное прикладное значение, которое сгодится им как в математике, так и в иных областях умений.

Вам понадобится

Учебник по математике за 5-ый класс

Инструкция

1. Одним из реформирований дробей является перевод их из смешанной в неправильную. Напомним, что смешанная дробь состоит из целого числа и верной дроби. Выходит, для того дабы исполнить это реформирование необходимо:1) Умножить знаменатель дроби на целую часть.2) К полученному числу прибавить числитель.3) Тогда знаменатель остается непоколебимым, а в числитель записывайте число, полученное в пункте 2.Пример: 2(3/7)= (14+3)/7= 17/7

2. Также такое реформирование дозволено исполнить иным методом:1) Представьте смешанную дробь в виде суммы ее целой и дробной части.2) Представьте целую часть в виде неправильной дроби со знаменателем, соответствующим знаменателю дробной части смешанной дроби.3) Сложите верную и неправильную дроби. Итог будет являться желанной неправильной дробью.Пример: 2(3/7)=2+3/7=14/7+3/7=(14+3)/7=17/7

3. Если Вам необходимо преобразовать обычную дробь в десятичную, тогда поделите числитель дроби на ее знаменатель. Пример:4/9=0,44444=0,(4)1/4=0,25Тут стоит дополнить, что при деление, итог может получиться как финальный (пример 2), так и безграничный (пример 1)Напомним, что десятичная дробь – это дробь, знаменатель которой содержит целую степень числа десять. Форма записи, этого вида дроби, отличается от записи обычной. В ней вначале запишите то число, которое должно быть в числителе, а после этого перенесите налево запятую на определенное число знаков. Это число соответствует разряду знаменателя. Пример:678/10=67,8678/100=6,78678/1000=0,678678/10000=0,0678

4. Для того, дабы осуществить переход от десятичной дроби к обычной надобно:1) Вынесите целую часть за знак дроби.2) Запишите в числитель числа позже запятой, а в знаменатель десять в соответствующем разряде.Пример:1) 23,65=23(65/10^2)=23(65/100)=23(13/20)2) 40,1=40(1/10)

5. Для того дабы из обычного числа сделать дробь, представьте это число в виде частного 2-х чисел. Делимое, при этом, будет являться числителем, а делитель знаменателем.Пример:8=16/2=8/1=24/3

Обратите внимание!
Наблюдательно отсчитывайте число знаков позже запятой.

Полезный совет
Припомните правила округления.

Дробь является одним из элементов формул, для ввода которых в текстовом процессоре Word существует инструмент Microsoft Equation. С поддержкой него дозволено вводить всякие трудные математические либо физические формулы, уравнения и другие элементы, включающие в себя особые символы.

Инструкция

1. Дабы запустить инструмент Microsoft Equation нужно пройти по адресу: «Вставка» -> «Объект», в открывшемся диалоговом окне, на первой вкладке из списка необходимо предпочесть Microsoft Equation и нажать «Ок» либо два раза кликнуть на выбранном пункте. Позже запуска редактора формул, перед вами откроется панель инструментов и в тексте отобразится поле для ввода формулы: прямоугольник в пунктирной рамке. Панель инструментов поделена на сегменты, в всей из них находится комплект знаков действий либо выражений. При нажатии на одну из сегментов, развернется список находящихся в ней инструментов. Из открывшегося списка нужно предпочесть необходимый символ и кликнуть на нем. Позже выбора, указанный символ появится в выделенном прямоугольнике в документе.

2. Сегмент, в которой располагаются элементы для написания дробей, находится во 2-й строке панели инструментов. При наведении на нее курсора мыши, вы увидите всплывающую подсказку «Образцы дробей и радикалов». Кликните секцию один раз и разверните список. В вывалившемся меню есть образцы для дробей с горизонтальной и косой чертой. Среди появившихся вариантов вы можете предпочесть тот, тот, что подходит для вашей задачи. Кликните на необходимом варианте. Позже нажатия, в поле для ввода, которое открылось в документе, появится символ дроби и места для ввода числителя и знаменателя, обрамленные пунктирной линией. Курсор по умолчанию механически устанавливается в поле для ввода числителя. Введите числитель. Помимо цифр дозволено так же вводить математические символы, буквы либо знаки действий. Их дозволено вводить как с клавиатуры, так и из соответствующих сегментов панели инструментов Microsoft Equation. Позже вода числителя, нажатием клавиши TAB, перейдите к знаменателю. Перейти дозволено и кликнув мышью в поле для ввода знаменателя. Как только формула написана, кликните указателем мыши в любом месте документа, панель инструментов закроется, ввод дроби будет закончен. Дабы отредактировать дробь, двукратно нажмите на ней левой кнопкой мыши.

3. Если при открытии меню «Вставка» -> «Объект», в списке вы не нашли инструмента Microsoft Equation, его нужно установить. Запустите установочный диск, образ диска либо файл дистрибутива Word. В появившемся окне инсталлятора выберите «Добавить либо удалить компоненты. Добавление либо удаление отдельных компонентов» и нажмите «Дальше». В дальнейшем окне подметьте пункт «Расширенная настройка приложений». Нажмите «Дальше». В дальнейшем окне обнаружьте пункт списка «Средства Office» и нажмите на плюсик слева. В развернувшемся списке, нас волнует пункт «Редактор формул». Кликните на значок рядом с надписью «Редактор формул» и, в открывшемся меню, нажмите «Запускать с моего компьютера». Позже этого нажмите «Обновить» и дождитесь пока пройдет установка нужного компонента.

Разная форма записи дробей может вызывать неудобство. Во-первых, не неизменно комфортно оперировать с десятичными формами, во-вторых, они зачастую отражают менее точные значения. И в этом случае вы можете преобразовать такую дробь в типичный вид.

Инструкция

1. Обратите внимание на то, что речь идет именно о реформировании десятичной дроби в типичную форму. Обратное действие не неизменно может иметь место, что связано с возникающей в некоторых случаях необходимостью округления: если в условиях данной задачи вы обязаны оперировать только точными значениями, придется оперировать только с обыкновенной формой дроби.

2. Запомните одно качество дроби, к которому сводятся все допустимые реформирования, проводимые с этой формой записи числа. Оно гласит, что умножение либо деления числителя и знаменателя на одно и то же число не приводит к изменению дроби. Причем не главно, в какой форме вы записываете число: в очевидной либо же как синус угла либо и совсем обозначив его переменной х либо у.

3. Не забывайте и о том, что в случае с десятичной дробью вы неизменно сразу можете записать ее знаменатель: это будет 10, 100, 1000 и т.д. Число нулей определяется числом знаков позже запятой. Остается осознать, что записать в числителе.

4. Выпишите в числитель все цифры десятичной дроби. Если это 0,75, то в числителе будет стоять 75, если 1,35 – 135, соответственно.

5. Приступайте к последующим реформированиям, если таковые допустимы. Это может требоваться для удачного решения задачи. Но если даже вам довольно примитивно преобразовать десятичную дробь в обычную форму, не останавливайтесь на одном действии. Учтите, что правила правильной математической записи требуют соблюдения 2-х правил. Во-первых, полученная дробь не должна сокращаться. Во-вторых, если числитель огромнее знаменателя, отменнее записать дробь в ее третье форме – смешанного числа.

6. Используйте качество дроби для того, дабы проверить вероятность сокращения. Чем поменьше знаменатель, тем поменьше вариантов вам придется перебирать. Если это 10, то проверьте, делится ли числитель на 2, 5, 10. Если 100 – на 2, 4, 5 и другие делители 100.

Видео по теме

Совет 5: Как перевести смешанное число в неправильную дробь

Число , которое записано в виде целой и дробной частей, называют числом в смешанной записи. Для комфорта произношения почаще каждого это длинное наименование уменьшают до формулировки «смешанное число». Такое число имеет равную себе неправильную дробь , в которую его легко перевести.

Вам понадобится

Смешанное число, бумага, ручка, 3 яблока, ножик.

Инструкция

1. Если вы не слишком отлично понимаете суть смешанного числа, неукоснительно возьмите бумагу и ручку, дабы не запутаться и все сделать положительно. На каждый случай приготовьте 3 яблока и ножик. Считается, что тема дробей в математике одна из самых трудных. Школьники начинают их проходить с 3-го класса и непрерывно, на всем дальнейшем ярусе обучения, возвращаются к аналогичным задачам, которые годично, раз за разом оказываются всё больше трудными.

2. Запишите смешанное число. Возможен, оно выглядит так: 2 3/4 (это то же самое, что и 2+3/4). Читается запись как «две целых три четвертых». Тут цифра 2 – это целая часть смешанного числа, а «три четвертых» – дробная часть. Для наглядности представьте его в виде 2-х целых яблок и еще одного, от которого осталось три четверти, а одну четверть, скажем, теснее съели.

3. Дабы смешанное число перевести в неправильную дробь , умножьте знаменатель его дробной части на целую часть. В данном случае это: 4х2=8. Вернитесь к наглядному примеру с яблоками. Разрежьте весь из 2-х целых плодов на четыре равных части. Позже этой операции частей также окажется восемь.

4. Дальнейшая операция: к полученному произведению прибавьте числитель дробной части смешанного числа. То есть к 8 прибавьте 3. Получится: 8+3=11. И сейчас к теснее имеющимся восьми яблочным кускам добавьте три сходственных ломтика от того яблока, которое первоначально оставалось неполным. Каждого окажется одиннадцать долек.

5. Заключительное действие: запишите получившуюся сумму на место числителя неправильной дроби. При этом знаменатель дробной части оставляйте без метаморфозы. Вывод в этом примере окажется таким: 11/4. Читается эта неправильная дробь как «одиннадцать четверых». И если вы вновь обратитесь к яблокам, то увидите, что всякий из ломтиков является четвертью от целого яблока, а каждого ломтиков одиннадцать. То есть когда вы их соберете совместно, вы здесь же получите одиннадцать четвертинок яблока.

Видео по теме

Все измерения выражаются числами, скажем, длина, площадь и объем в геометрии, расстояние и скорость в физике и т.д. Не неизменно итог получается целым, так возникают дроби. Существуют разные действия с ними и методы их реформирования, в частности, дозволено обыкновенную дробь превратить в десятичную.

Инструкция

1. Дробь – это запись вида m/n, где m принадлежит множеству целых чисел, а n – естественных. Причем если m>n, то дробь является неправильной, из нее дозволено выделить целую часть. При умножении числителя m и знаменателя n на одно и то же число итог остается постоянным. На этом правиле основаны все операции реформирования. Таким образом, дозволено превратить обыкновенную дробь в десятичную, подобрав соответствующий множитель.

2. Десятичную дробь отличает знаменатель, кратный десяти. Такая запись подобна разрядам целых чисел, идущая по возрастанию справа налево. Следственно для перевода обычной дроби надобно вычислить такой всеобщий показатель для ее делимого и делителя, дабы конечный содержал только десятичные, сотые, тысячные и т.п. доли.Пример: переведите дробь? в десятичный вид.

3. Подберите такое число, дабы итог его умножения на знаменатель был кратен 10. Рассуждения ведите от обратного: дозволено ли превратить число 4 в 10? Результат: нет, так как 10 не делится нацело на 4. Тогда 100? Да, 100 делится на 4 без остатка, в результате получается 25. Умножьте числитель и знаменатель на 25 и запишите результат в десятичном виде:? = 25/100 = 0,25.

4. Не неизменно дозволено воспользоваться способом подбора, существует еще два метода. Тезис их использования фактически один и тот же, различается лишь запись. Один из них – постепенное выделение десятичных знаков. Пример: переведите дробь 1/8.

5. Рассуждайте дальнейшим образом: 1/8 не имеет целой части, следственно, она равна 0. Запишите эту цифру и поставьте позже нее запятую; Умножьте 1/8 на 10, получите 10/8. Из этой дроби дозволено выделить целую часть, равную 1. Впишите ее позже запятой. Продолжите работу с образовавшимся остатком 2/8; 2/8*10 = 20/8. Целая часть равна 2, остаток – 4/8. Промежуточный результат – 0,12; 4/8*10 = 40/8. Из таблицы умножения следует, что 40 нацело делится на 8. На этом ваши расчеты закончены, итоговый результат – 0,125 либо 125/1000.

6. И, наконец, 3-й способ – деление в столбик. Весь раз, когда вам доводится разделять меньшее число на большее, спускайте «сверху» нуль (см. рис).

7. Дабы превратить неправильную дробь в десятичную, необходимо вначале выделить целую часть. Скажем: 25/3 = 8 1/3. Запишите целую часть 8, поставьте запятую и переведите дробную часть 1/3 одним из описанных выше методов. К сожалению, не существует числа, кратного 10, которое делось бы на 3 без остатка. В сходственной обстановки применяется так называемый период, когда безмерно повторяющуюся цифру записывают в круглых скобках:8 1/3 ? 8,…;1/3*10 = 10/3 ? 8,3…, остаток = 1/3;1/3*10 = 10/3 ? 8,33…, остаток = 1/3;и т.д. до бесконечности.Результат: 8 1/3 = 8,3….3 = 8,(3).

Видео по теме

Стержневой спецификой человеческого интеллекта является способность к абстрактному мышлению. Одной из наивысших форм абстракции в человеческом мире является число. Выделяют несколько категорий чисел, различающихся свойствами. Особенно привычными и зачастую используемыми в повседневной жизни являются целые и действительные числа. Как водится, числа записываются в десятичной системе счисления. Действительные числа обозначаются десятичными дробями. Одним из недостатков записи дробных чисел в виде десятичных дробей является их ограниченная точность. Когда точность особенно главна, числа записывают в виде дробей (пары числитель-знаменатель). В ряде случаев дроби крайне комфортны, но арифметические операции с ними больше трудны, чем с десятичными числами. Скажем, дабы вычесть дробь с различными знаменателями , надобно совершить несколько математических действий.

Вам понадобится

Калькулятор либо лист бумаги с ручкой.

Инструкция

1. Приведите дроби к одному знаменателю. Помножьте числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель 2-й. Помножьте числитель и знаменатель 2-й дроби на знаменатель первой. Скажем, если начальные дроби равны 6/7 и 5/11, то дроби, приведенные к всеобщему знаменателю, будут равны 66/77 и 35/77. В данном случае числитель и знаменатель первой дроби были помножены на число 11, а числитель и знаменатель 2-й дроби – на число 7.

2. Произведите вычитание дробей. Вычтите из числителя первой дроби числитель 2-й дроби. Запишите полученное значение в качестве числителя результирующей дроби. В качестве знаменателя итога подставьте всеобщий знаменатель, полученный на предыдущем шаге. Так, при вычитании из дроби 66/77 значения дроби 35/77, получится итог 31/77 (из числителя 66 был вычтен числитель 35, а знаменатель оставлен бывшим).

3. Произведите сокращение дроби-итога, если это нужно. Подберите крупнейший всеобщий делитель, чудесный от 1 для числителя и знаменателя результирующей дроби. Поделите на него числитель и знаменатель. Запишите новые значения в качестве числителя и знаменателя итоговой дроби. Наибольшего всеобщего делителя, чудесного от 1 может и не существовать. В этом случае оставьте в качестве итога начальную дробь .

Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

Плюс на минус дает минус;
Минус на минус дает плюс.

Разберем все это на конкретных примерах:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

Что делать, если знаменатели разные

Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю », поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Что делать, если у дроби есть целая часть

Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь ». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Резюме: общая схема вычислений

В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.

Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.